关于 Pareto 记录的概率

给定一个取值于 ${\mathbb R}^d$ 且具有共同连续分布函数 $F$ 的独立随机向量序列，如果第 $n^{\rm \scriptsize th}$ 个观测值在任何坐标上都不被任何先前的观测值所支配（即优于），则称其设立了一个 (Pareto) 记录。令 $p_n(F) \equiv p_{n, d}(F)$ 表示第 $n^{\rm \scriptsize th}$ 个观测值设立记录的概率。关于 $p_n$ 及更一般的多变量记录有许多有趣的问题值得探讨，但这篇短文专注于 $p_n$ 如何随 $F$ 变化，特别是当在 $F$ 下坐标表现出负相关或正相关（而非独立性，这是一个被更多研究的情况）时。我们引入了新的负相关和正相关概念，非常适合此类研究，分别称为负记录设立概率依赖性 (NRPD) 和正记录设立概率依赖性 (PRPD)，将这些概念与现有的依赖性概念联系起来，并对于固定的 $d \geq 2$ 和 $n \geq 1$，证明了映射 $p_n$ 在 NRPD（分别为 PRPD）分布域上的像为 $[p^*_n, 1]$（ resp., $[n^{-1}, p^*_n]$），其中 $p^*_n$ 是支配独立坐标的任何连续 $F$ 的记录设立概率。