比例风险模型中次序统计量的相依性比较

设 $X_1, \ldots , X_n$ 为具有不同风险率 $\lambda_1, \ldots , \lambda_n > 0$ 的相互独立指数随机变量，设 $Y_1, \ldots, Y_n$ 为来自风险率 $\bar \lambda = \sum_{i=1}^n \lambda_i/n$ 的指数分布的随机样本。又设 $X_{1:n} < \cdots < X_{n:n}$ 与 $Y_{1:n} < \cdots < Y_{n:n}$ 为它们对应的次序统计量。本文证明了对 $1\le i <j \le n$，依离散序（dispersive ordering），$X_{j:\, n} - X_{i:\, n}$ 比 $Y_{j:\,n} - Y_{i:\, n}$ 更分散。利用该结果解决了一个长期未决的公开问题：对 $2\le i \le n$，在更随机递增（more stochastically increasing）的意义下，$X_{i:\, n}$ 对 $X_{1:\, n}$ 的相依性小于 $Y_{i:\, n}$ 对 $Y_{1\, :n}$ 的相依性。该相依性结果亦推广至 PHR 模型。这推广了 {\em Genest, Kochar and Xu}[ J.\ Multivariate Anal.\ {\bf 100} (2009) \ 1587-1592] 的早期工作，他们证明了 $i =n$ 时的结果。