Pareto 记录前沿拖尾点的精确定位

对于 $d\ge2$ 且具有独立 Exponential$(1)$ 分量的独立同分布 $d$ 维观测值 $X^{(1)},X^{(2)},\dots$，我们重访了 Fill 和 Naiman (Electron. J. Probab., 2020) 关于闭 Pareto 记录设定 (RS) 区域边界（相对于闭正象限）或称“前沿”$F_n$ 的研究： \mbox{RS}_n:=\{0\le x\in{\mathbb R}^d:x\not\prec X^{(i)}\mbox{\ 对所有 $1\le i\le n$}\} 其中 $0\le x$ 意味着对所有 $1\le j\le d$ 有 $0\le x_j$，而 $x\prec y$ 意味着对所有 $1\le j\le d$ 有 $x_j<y_j$。令 $x_+:=\sum_{j=1}^d x_j$，设 $$F_n^-:=\min\{x_+:x\in F_n\}\quad\mbox{且}\quad F_n^+:=\max\{x_+:x\in F_n\}.$$ 几乎必然地，对每个 $n$ 存在唯一的向量 $\lambda_n\in F_n$ 和 $\tau_n\in F_n$，使得 $F_n^+=(\lambda_n)_+$ 且 $F_n^-=(\tau_n)_+$；我们将 $\lambda_n$ 和 $\tau_n$ 分别称为前沿的领先点和拖尾点。Fill 和 Naiman 提供了关于 $F^+$ 的典型行为和几乎必然行为的相当精确的信息，但关于 $F^-$ 的信息较为粗糙，即对于任意 $\varepsilon >0$ 和 $c_n\to\infty$，有 $${\mathbb P}(F_n^- -\ln n\in (-(2+\varepsilon)\ln\ln\ln n,c_n))\to 1$$（描述典型行为），且几乎必然地 $$\limsup \frac{F_n^- - \ln n}{\ln \ln n} \le 0 \quad \mbox{和} \quad \liminf \frac{F_n^- - \ln n}{\ln \ln \ln n} \in [-2, -1].$$ 在本文中，我们利用生成元理论（$F_n$ 的极小值）结合一阶和二阶矩方法，显著改进了拖尾点定位结果，得到 $$F_n^- - (\ln n - \ln \ln \ln n) \overset{\mathrm{P}}{\longrightarrow} - \ln(d - 1)$$（描述典型行为），并且对于 $d \ge 3$，几乎必然地 \begin{align*} &\limsup [F_n^- - (\ln n - \ln \ln \ln n)] \leq -\ln(d - 2) + \ln 2 \\ \mbox{和 }&\liminf [F_n^- - (\ln n - \ln \ln \ln n)] \ge - \ln d - \ln 2. \end{align*}