有限捕获与受限多项式根的闭包

我们研究了可数代数根集合如何传递至分形连通性 loci 的问题。设 $D_n=\{-n+1,-n+2,\ldots,n-1\}$，记 $R_n$ 为单项式多项式的根之集合，其非主系数落在 $D_n$ 中。我们研究 $\overline{R_n}\setminus\overline{\mathbb{D}}$。在闭合单位圆外，该集合等于一个共线仿射迭代函数系统的连通性 loci $M_n$，或等价地为互为倒数的幂级数 $1+\sum_{k\ge1} d_k c^{-k}$ 的零点集合，其中 $d_k\in D_n$。对于镜头 $X_n=\{\,c\in\mathbb{C}\setminus\overline{\mathbb{D}}:\ |c\pm1|<\sqrt{2n}\,\}$ 中的非实参数，我们构造了一个标准陷阱与围栏，用于该差分吸引子，并据此定义标记点 $2c$ 的有限捕获集合 $\Theta_k(n)$。我们的主要结果是，对每个 $k\ge0$ 都有均匀包含 $\overline{\Theta_k(n)}\cap(X_n\setminus\mathbb{R})\subset\Theta_{k+2}(n)$。因此，$(M_n\cap X_n)\setminus\mathbb{R}$ 正好是有限捕获 loci 的闭包。该论文结合显式陷阱几何与认证逆向搜索。此外，$M_n\setminus\mathbb{R}\subset X_n$ 对每个 $n\ge20$ 成立，且对 $2\le n\le19$ 均为尖锐。因此，对 $n\ge20$，$\overline{R_n}\setminus\overline{\mathbb{D}}$ 的非实部分恰等于有限捕获 loci 的闭包。