共线分形与 Bandt 猜想

对于单位圆外的复参数 $c$ 和整数 $n\ge2$，我们研究了 $n$ 元共线分形 $E(c,n)$，它被定义为迭代函数系统 \{\mbox{f_k \colon \mathbb{C} \longrightarrow \mathbb{C}}\}_{k=1}^n 的吸引子，其中 $f_k(z):=1+n-2k+c^{-1}z$。我们研究了连通性轨迹 $\mathcal{M}_n$ 的一些拓扑特征，该集合类似于 Mandelbrot 集，定义为使得 $E(c,n)$ 连通的 $c$ 的集合。特别地，我们对 Calegari、Koch 和 Walker 在 2017 年提出的一个开放性问题给出了详细的解答。我们还将 Solomyak 和 Xu 的覆盖性质技术推广并细化到任意 $n\ge2$。我们利用该技术证明了 $\mathcal{M}_n$ 的一个非平凡部分是正则闭的。当 $n\ge21$ 时，我们进一步强化了这一结果，证明了实际上整个 $\mathcal{M}_n\setminus\mathbb{R}$ 都位于其内部的闭包之内，从而证明了广义 Bandt 猜想是正确的。