分形与带一个后继的单子二阶理论

我们证明，若 $X$ 是 $\mathbb{R}^n$ 中几乎任意经典分形子集，则 $(\mathbb{R},<,+,X)$ 可解释 $(\mathbb{N},+1)$ 的单子二阶理论。该结果是最优的，因为已知 $(\mathbb{N},+1)$ 的单子二阶理论的标准模型可解释多种经典分形 $X$（包括三分康托集与谢尔宾斯基地毯）上的 $(\mathbb{R},<,+,X)$。设 $X \subseteq \mathbb{R}^n$ 为闭非空集合。我们证明，若对某个 $k \geq 1$，$X$ 的 $C^k$ 光滑点在 $X$ 中不稠密，则 $(\mathbb{R},<,+,X)$ 可解释 $(\mathbb{N},+1)$ 的单子二阶理论。若 $X$ 的填充维数严格大于其拓扑维数且 $X$ 无仿射点，则同样结论成立。