$L^1$型约束下产生最小衰减速率共振的 Pareto 最优结构

研究了在非均匀介质中与一维波动方程相关的共振优化问题，约束条件为表示介质结构的非负函数 $B \in L^1 (0,\ell)$ 满足 $\| B \|_1 <= m$。从物理学和优化学的角度来看，通过将 $B$ 推广为非负测度 $d M$ 并对 $d M$ 施加其总质量 $<= m$ 的条件来推广该问题是方便的。问题在于为给定频率 $\alpha \in R$ 设计一种介质，使其在直线 $\alpha + i R$ 上产生具有最小可能衰减速率 $| Im \omega |$ 的共振 $\omega$。此类共振被称为最小衰减共振，并形成 Pareto 前沿。我们表明，相应的最优测度由有限数量的点质量组成，并且该结果意味着在绝对连续测度 $B(x) dx$ 集合上该问题不存在最优解。随后，我们推导了对最优点质量及其位置的限制。这些限制足够强，以至于如果已知最优共振 $\omega$、第一个点质量 $m_1$ 和另一个几何参数，就可以计算出最优 $d M$。这将原始的无限维问题简化为对四个实参数的优化。对于小频率，我们显式地找到了 Pareto 集和相应的最优测度 $d M$。本文的技术基于双参数摄动法和局部边界点的概念。后者被引入作为局部极值概念在向量优化问题中的推广。