具有马尔可夫增量的随机游走极小值的局部极限定理

设 (Ω, ℱ, ℙ) 为一概率空间，E 为一有限集。假设 X = (Xₙ) 是定义在 (Ω, ℱ, ℙ) 上、取值于 E 且具有转移概率 P = (p_{i,j})_{i,j} 的不可约非周期马尔可夫链。设 (F(i,j, dx))_{i,j∈E} 为 ℝ 上的一族概率测度。考虑 ℝ × E 上的半马尔可夫链 (Yₙ, Xₙ)，其转移概率为 ℙ̃，定义为 ℙ̃((u,i), A × {j}) = ℙ(Y_{n+1} ∈ A, X_{n+1} = j | Y_n = u, X_n = i) = p_{i,j} F(i,j,A)，对任意 (u,i) ∈ ℝ × E、任意博雷尔集 A ⊂ ℝ 及任意 j ∈ E。我们研究序列 (Xₙ, mₙ) 的拉普拉斯变换的渐近行为，其中 mₙ = min(S₀, S₁, ..., Sₙ) 且 Sₙ = Y₀ + ... + Y_{n-1}。在对 F(i,j,dx) 相当一般的假设下，我们证明对所有 (i,j) ∈ E × E，√n 𝔼_i[exp(λ mₙ), Xₙ = j] 收敛于一个正函数 H_{i,j}(λ)，并进一步获得了当 λ → 0⁺ 时该极限函数的信息。