格点随机游动及其占据测度的联合与条件局部极限定理

设 $S_n$ 为具有零均值和有限方差的格点随机游动，$\Lambda^a_n$ 为其在水平 $a$ 处的占据测度。在本注记中，我们在 $a$、$|x-a|$ 与 $\ell$ 为零或至少具有 $\sqrt n$ 阶的几种情形下，证明了关于 $\Pr[S_n=x,\Lambda^a_n=\ell]$ 与 $\Pr[S_n=x|\Lambda^a_n=\ell]$ 的局部极限定理。这些量的渐近描述与布朗运动及其局部时过程对应的概率相符。本注记可视为对 Kaigh (1975) 与 Uchiyama (2011) 先前结果的推广。与这些结果类似，我们的证明方法依赖于路径分解，将手头的问题化简为对具有独立增量的随机游动的研究。