利用高斯径向基函数对多维带限函数的非均匀采样与恢复

设S⊂R^d为具有正勒贝格测度的有界子集。与S相关的Paley-Wiener空间PW_S定义为R^d上所有傅里叶变换在S外为零的平方可积函数的集合。R^d中的序列(x_j:j∈N)被称为L_2(S)的Riesz基序列（等价地，PW_S的完全插值序列），如果指数函数序列(e^{-i⟨x_j,·⟩}:j∈N)构成L_2(S)的Riesz基。设(x_j:j∈N)为L_2(S)的Riesz基序列。给定λ>0和f∈PW_S，存在唯一的序列(a_j)∈ℓ_2，使得函数I_λ(f)(x):=∑_{j∈N}a_j e^{-λ‖x-x_j‖_2^2}, x∈R^d，在R^d上连续且平方可积，并满足条件I_λ(f)(x_n)=f(x_n)对所有n∈N成立。本文研究了当λ趋于零（即底层高斯函数的方差趋于无穷大）时插值函数I_λ(f)的收敛性。得到如下结果：设δ∈(√(2/3),1]且0<β<√(3δ^2-2)。假设δB_2⊂Z⊂B_2，并设(x_j:j∈N)为L_2(Z)的Riesz基序列。若f∈PW_{βB_2}，则在L_2(R^d)中且在R^d上一致地有f=lim_{λ→0^+} I_λ(f)。若δ=1，则β也可取为1，这退化为单变量情形下的已知定理。然而，若d≥2，尚不清楚L_2(B_2)是否允许Riesz基序列。另一方面，当δ<1时，确实存在满足定理假设的体Z（在任何空间维度下）。