分数阶Laplacian的左逆与稀疏随机过程

分数阶Laplacian $(-\triangle)^{\gamma/2}$ 与欧几里得空间 $\RR^d$ 中的基本坐标变换（伸缩、平移和旋转）可交换，且与样条、分形和稳定Lévy过程有紧密联系。对于 $0<\gamma<d$，其逆是经典的Riesz位势 $I_\gamma$，该位势具有伸缩不变性和平移不变性。在本工作中，我们研究了共享这些不变性质的扩展类微分算子的泛函性质（连续性、衰减性和可逆性）。特别地，我们将经典Riesz位势 $I_\gamma$ 的定义推广到大于 $d$ 的任意非整数 $\gamma$，并证明了它是分数阶Laplacian $(-\triangle)^{\gamma/2}$ 唯一具有伸缩不变性和平移不变性的左逆。我们观察到，对于任意 $1\le p\le \infty$ 和 $\gamma\ge d(1-1/p)$，存在Schwartz函数 $f$ 使得 $I_\gamma f$ 不是 $p$-可积的。随后，我们引入了分数阶Laplacian $(-\triangle)^{\gamma/2}$ 新的唯一左逆 $I_{\gamma, p}$，其具有性质：$I_{\gamma, p}$ 是伸缩不变的（但不是平移不变的），且对于任意Schwartz函数 $f$，$I_{\gamma, p}f$ 是 $p$-可积的。最后，我们将 $p=1$ 时的线性算子 $I_{\gamma, p}$ 应用于求解以白Poisson噪声为驱动项 $w$ 的随机偏微分方程 $(-\triangle)^{\gamma/2} \Phi=w$。