多变量指数型整函数的随机采样

我们考虑带限函数的随机采样问题。何时可以从随机选取的样本 $f(x_j), j\in \mathbb{N}$ 中恢复带限函数 $f$？我们估计了如下形式的采样不等式 A\|f\|_2^2 \leq \sum_{j\in \mathbb{N}} |f(x_j)|^2 \leq B \|f\|_2^2 对所有满足 supp $\hat{f} \subseteq [-1/2,1/2]^d$ 的函数 $f\in L^2(\mathbb{R}^d)$ 或 \bdl 函数的某个子集一致成立的概率。与离散模型不同，带限函数空间是无限维的，且其函数“定义”在无界集 $\mathbb{R}^d$ 上。这一事实引发了新的问题，并导致了否定和肯定的结果。(a) 以概率 1，对于 $\mathbb{R}^d$ 上随机集的任何合理定义（例如空间泊松过程或不相交立方体上的均匀分布），采样不等式均不成立。(b) 以压倒性概率，对于带限函数空间的某些紧子集以及足够大的采样规模，采样不等式成立。