圆周上时间周期标量反应扩散方程的 Morse-Smale 性质

我们研究圆周 $S^1$ 上如下标量半线性抛物方程的 Morse-Smale 性质,\n\begin{equation*} u_{t}=u_{xx}+f(t,u,u_{x}),\,\,t>0,\,x\in S^{1}=\mathbb{R}/2\pi \mathbb{Z}, \end{equation*}\n其中 $f$ 是 $C^2$ 函数且关于 $t$ 为 $T$-周期。假设该方程存在一个紧全局吸引子 $\mathcal{A}$,并令 $P$ 为该方程的庞加莱(Poincaré)映射。我们排除了 $P$ 的双曲不动点的同宿连接,并证明 $P$ 的任意两个异宿双曲不动点的稳定流形与不稳定流形横截相交。进一步,在 $P$ 的所有 $\omega$-极限集(当 $f(t,u,u_x)=f(t,u,-u_x)$ 时,$\omega$-极限集仅为不动点)均为双曲的条件下,该方程具有 Morse-Smale 性质。