长度与稳定长度

本文确立了双曲流形上稳定长度谱存在间隙。若 $M$ 为双曲 $n$-流形，则对任一正数 $e$，存在仅依赖于 $n$ 与 $e$ 的正数 $d$，使得 $\pi_1(M)$ 中稳定交换子长度小于 $d$ 的元素可由长度小于 $e$ 的测地线表示。此外，对任一此类 $M$，共轭类上稳定交换子长度的首次聚点至少为 $1/12$。反之，双曲 3-流形中“大多数”短测地线具有任意小的稳定交换子长度。因此稳定交换子长度通常善于探测 $M$ 的厚–薄分解，而 $1/12$ 可被视作一种同调马尔古利斯常数。