圆上抛物型方程的通用Morse-Smale性质

在本文中，我们证明，对于圆$S^1$上的标量反应扩散方程$u_t=u_{xx}+f(x,u,u_x)$，Morse-Smale性质关于非线性项$f$是通用的。在\cite{CR}中，Czaja和Rocha证明了任何连接两个双曲周期轨道的连接轨道是横截的，并且不存在连接双曲周期轨道到自身的同宿轨道。在\cite{JR}中，我们证明了，关于非线性项$f$，所有平衡点和周期轨道都是双曲的。这里我们通过证明任何连接两个具有不同Morse指数的双曲平衡点之间，或连接一个双曲平衡点与一个双曲周期轨道之间的连接轨道自动是横截的，来完善这些结果。我们还证明，关于$f$，在具有相同Morse指数的平衡点之间不存在连接。上述性质，连同紧全局吸引子的存在性和Poincaré-Bendixson性质，使我们能够推断出，关于$f$，非游荡集由有限个双曲平衡点和周期轨道组成。证明的主要工具包括lap数性质、指数二分性和Sard-Smale定理。证明还需要仔细分析沿连接轨道的线性化方程解的渐近行为。