曲面上 Morse-Smale 微分同胚的轨道特征空间

研究动力系统的经典方法是将系统动力学表示为“源-汇”形式，即确定一个吸引子-排斥子对，它们是系统所有其他轨迹的吸引-排斥集。若存在一种方式选取该对，使其补空间中的轨道空间（轨道特征空间）连通，则为寻找动力系统的完全拓扑不变量创造了前提。已知对任意定义在维数 $n \geqslant 3$ 的流形上的 Morse-Smale 微分同胚，这样的对总是存在。而对于 $n=2$，连通特征空间的存在性仅对定义在可定向曲面上的保向类梯度（无异宿点）微分同胚得到证明。本文构造性地表明，上述条件（无异宿点、曲面可定向性、微分同胚可定向性）中至少一条不满足时，会导致曲面上存在不具有连通轨道特征空间的 Morse-Smale 微分同胚。