$S^1$ 上概周期抛物方程的概自守与概周期受迫圆周流

我们考虑由标量反应扩散方程 \begin{equation*} u_{t}=u_{xx}+f(t,u,u_{x}),\,\,t>0,\,x\in S^{1}=\mathbb{R}/2\pi \mathbb{Z}, \end{equation*} 生成的斜积半流，其中 $f$ 关于 $t$ 一致概周期。在假设与极小集 $M$ 相关联的中心空间 $V^c(M)$ 维数不超过 $2$ 的条件下，对极小集 $M$ 的结构进行了深入研究。这种情况自然出现于例如 $M$ 是双曲的或唯一遍历的情形。本文证明，若 $M$ 是双曲的（等价地，${\rm dim}V^c(M)=0$），则 $M$ 是外壳 $H(f)$ 的 $1$-覆盖。若 ${\rm dim}V^c(M)=1$（或 ${\rm dim}V^c(M)=2$ 且 ${\rm dim}V^u(M)$ 为奇数），则 $M$ 要么是 $H(f)$ 的几乎 $1$-覆盖且拓扑共轭于 $\mathbb{R}\times H(f)$ 中的一个极小流；要么 $M$ 可以（或剩余地）嵌入到一个概周期（或概自守）受迫圆周流 $S^1\times H(f)$ 中。当 $f(t,u,u_x)=f(t,u,-u_x)$（包含 $f=f(t,u)$ 的情形）时，证明了任何极小集 $M$ 都是 $H(f)$ 的几乎 $1$-覆盖。特别地，任何双曲极小集 $M$ 都是 $H(f)$ 的 $1$-覆盖。此外，若 ${\rm dim}V^c(M)=1$，则 $M$ 要么是 $H(f)$ 的 $1$-覆盖，要么拓扑共轭于 $\mathbb{R}\times H(f)$ 中的一个极小流。对于一般空间依赖非线性项 $f=f(t,x,u,u_{x})$，我们证明任何稳定或线性稳定的极小不变集 $M$ 都剩余地嵌入到 $\mathbb{R}^2\times H(f)$ 中。