一维几乎周期半线性热方程中 $S^1$ 或 $\mathbb{R}$ 上的几乎自守强迫流

本文考虑由以下时间几乎周期强迫标量反应扩散方程生成的斜积半流的渐近动力学\begin{equation}\label{eq0} u_{t}=u_{xx}+f(t,u,u_{x}),\,\,t>0,\, 0<x<L \end{equation} 具有周期边界条件 \begin{equation} \label{bdc1} u(t,0)=u(t,L),\quad u_x(t,0)=u_x(t,L), \end{equation} 其中 $f$ 关于 $t$ 一致几乎周期。特别地，我们研究该斜积半流的极限集的拓扑结构。证明了任意紧极小不变集（本文中称之为极小集）可剩余嵌入到圆周 $S^1=\mathbb{R}/L\mathbb{Z}$ 上某个几乎自守强迫流的不变集中。尤其当 $f(t,u,p)=f(t,u,-p)$ 时，极小集上的流拓扑共轭于 $\mathbb{R}$ 上的几乎周期强迫极小流。此外，证明了任意有界轨道的 $\omega$-极限集至多包含两个不能由相平移彼此得到的极小集。另外，我们进一步考虑由 \eqref{eq0} 具 Neumann 边界条件 \begin{equation*} \label{bcd2} u_x(t,0)=u_x(t,L)=0, \end{equation*} 或 Dirichlet 边界条件 \begin{equation*}\label{bdc3} u(t,0)=u(t,L)=0. \end{equation*} 生成的斜积半流的渐近动力学。在对 $f$ 的某些直接假设下，本文证明了具 Neumann 边界条件或 Dirichlet 边界条件的 \eqref{eq0} 的任意极小集上的流拓扑共轭于 $\mathbb{R}$ 上的几乎周期强迫极小流。最后，给出一个反例表明，即使对拟周期方程，我们此处所得结果一般也无法进一步改进。