Kirchhoff型拟线性波动方程的修正能量方法

在本文中，我们使用Hunter、Ifrim、Tataru和Wong的修正能量方法，证明了一类广泛的Kirchhoff型拟线性波动方程在初始数据小在$\dot H^1_x \times L^2_x$时的改进五次能量估计。这使我们能够向小数据$H^{5/4}_x \times H^{1/4}_x$局部适定性迈出第一步。特别地，我们证明了相应解的增强寿命仅依赖于初始数据的$\dot H^{5/4}_x \times \dot H^{1/4}_x$范数，以及对于$H^{5/4}_x \times H^{1/4}_x$初始数据（同样小在$\dot H^1_x \times L^2_x$）弱解的存在性。与先前的修正能量结果相反，这些模型中的非线性依赖于解的$\dot H^1_x$范数。这意味着修正能量不能通过分析波包之间的共振相互作用代数推导出来，因为非线性中所有空间依赖性都被积分掉了。相反，修正能量被确定为增量主导项的泰勒级数。