乘积空间上立方 Schrödinger 方程的修正散射及其应用

我们考虑定义在空间域 $\mathbb{R}\times \mathbb{T}^d$ 上的立方非线性 Schrödinger 方程。我们证明了修正散射，并分别为小初值和小终值构造了修正波算子（$1\leq d\leq 4$）。其关键新颖之处在于，修正的渐近动力学由该方程的共振系统所决定，而当 $d\geq 2$ 时该系统维持着有趣的动力学行为。作为推论，我们在 $\mathbb{R}\times \mathbb{T}^d$（对于任意 $d\geq 2$）上获得了散焦和聚焦问题的全局解，其具有高 Sobolev 范数 $H^s$ 无限增长的特性。