基于广义能量法的拟线性薛定谔方程局部适定性
偏微分方程分析
2025-12-23 v3
摘要
我们研究拟线性薛定谔方程的柯西问题，Kenig等人（Invent Math, 2004; Adv Math, 2006）通过伪微分技术与黏性方法得到了大数据的局部适定性，而Marzuola等人（Adv Math, 2012; Kyoto J Math, 2014; Arch Ration Mech Anal, 2021）以及Ben等人（Arch Ration Mech Anal, 2024）通过色散论证改进了结果。本文中，我们引入一种广义能量法，结合动量估计与能量估计来闭合边界，从而通过黏性方法得到我们的结果。若数据较小，证明主要依赖分部积分与Sobolev嵌入，类似于半线性薛定谔方程的经典局部存在理论。对于大数据，该框架在引入某些伪微分工具后依然适用。在二次相互作用情形下，我们在与Kenig等人工作相同的函数空间中建立了小数据与大数据的低正则性局部适定性。对于具有小初值的三次相互作用，我们恢复了Marzuola等人（Kyoto J Math, 2014）得到的低正则性结果。
引用
@article{arxiv.2311.02556,
title = {Local well-posedness for the quasilinear Schr\"odinger equations via the generalized energy method},
author = {Jie Shao and Yi Zhou},
journal= {arXiv preprint arXiv:2311.02556},
year = {2025}
}