Lieb-Liniger 模型的平均场极限

我们考虑著名的 Lieb-Liniger (LL) 模型，其中 $N$ 个玻色子通过 $\delta$-势在线上的平均场标度 regime 下两两相互作用。假设初始波函数有合适的渐近因式分解且单粒子微观能量收敛，我们证明系统的含时约化密度矩阵在迹范数下收敛到由一维三次非线性薛定谔方程（NLS）的解给出的纯态，并带有显式的收敛速率。与先前依赖量子场论且无显式速率的工作 arXiv:0906.3047 不同，我们的证明受 Pickl arXiv:0907.4464 以及 Knowles 和 Pickl arXiv:0907.4313 的计数方法启发。为克服源于 $\delta$-势奇异性的困难，我们引入了一种新的短程近似论证，利用了 $N$-体波函数在单个粒子变量下的 Hölder 连续性。通过进一步利用一维三次 NLS 的 $L^2$-次临界适定性理论，我们只需假设 NLS 的极限解具有有限质量即可证明平均场收敛。