王冠的临界对图

存在一种自然的方式将偏序集 $P$ 关联到一个超图 $H$，称为临界对超图，使得 $P$ 的维数恰好等于 $H$ 的色数。$H$ 的边大小可变，但研究由 $H$ 中大小为 2 的边构成的图 $G$ 具有重要意义。$G$ 的色数小于或等于 $P$ 的维数，且这两个值之间的差异可以任意大。然而，在许多重要实例中这两个参数是相同的，本文研究其中之一。我们关注被称为王冠的高度为 2 的偏序集族 $\{S_n^k:n\ge 3, k\ge 0\}$。我们证明，王冠 $S_n^k$ 的临界对图 $G_n^k$ 的色数与 $S_n^k$ 的维数相同，已知该维数为 $\lceil 2(n+k)/(k+2)\rceil$。事实上，该定理是以下更强结果的直接推论：$G_n^k$ 的独立数为 $(k+1)(k+2)/2$。我们通过对 $G_n^k$ 中独立集的全面分析获得了该定理，包括确定可逆与不可逆两种类型的极大独立集中次大的规模。