带内反射镜的球对称爱因斯坦–零尘埃系统：最大发展的结构与柯西稳定性

在本文中，我们研究 $\Lambda<0$ 的球对称Einstein--无质量Vlasov系统在类时无穷远 $\mathcal{I}$ 处施加反射边界条件下的渐近AdS初始数据的演化，其中Vlasov场仅支撑在径向测地线上。该系统等价于允许入射与出射尘埃的球对称Einstein--零尘埃系统。一般而言，该系统的解在有限时间内破裂（与初始数据大小无关）；我们通过表明在入射尘埃到达对称轴的第一个点处，解变为 $C^{0}$ 不可延拓，尽管时空度量在该点之前保持正则，来强调这一事实。克服这一平凡适定性障碍的一种方法是，在形如 $\{r=r_{0}\}$（$r_{0}>0$）的类时超曲面上放置内反射镜，并研究外部区域 $\{r\ge r_{0}\}$ 上的演化。在此设定下，我们证明了一般光滑且渐近AdS初始数据集的最大发展的存在性与唯一性，并研究了这些发展的基本几何性质。此外，我们建立了关于粗糙初始数据范数的解之适定性与柯西稳定性，该范数度量正比于反射镜半径 $r_{0}$ 尺度上的能量集中。上述适定性与柯西稳定性估计在我们的伴随论文中用于证明Einstein--零尘埃系统的AdS不稳定性猜想。然而，本文的结果也可能具有独立意义。