带内镜像的 Einstein–null dust 系统 AdS 不稳定性的证明

2006 年，Dafermos 与 Holzegel 提出了所谓的 AdS 不稳定性猜想，即存在对 AdS 初始数据的任意小扰动，在具有共形无穷远处反射边界条件的 $\Lambda<0$ Einstein 真空方程演化下，会导致黑洞的形成。Bizon 与 Rostworowski 在球对称 Einstein–标量场系统的更简单设定下开启了该猜想的数值研究，随后众多作者发表了大量数值与启发式工作。在本文中，我们在尽可能简单的设定下给出了 AdS 不稳定性猜想的首个严格证明，即针对球对称 Einstein–无质量 Vlasov 系统，且 Vlasov 场仅支撑于径向测地线的情况。该系统等价于允许入射与出射尘埃的 Einstein–null dust 系统。为克服一旦 null dust 到达中心 $r=0$ 时该系统出现的崩溃，我们在 $r=r_{0}>0$ 处放置一个内镜像，并研究该系统在外域 $\{r\ge r_{0}\}$ 上的演化。此设定下一般初始数据的最大发展结构以及 Cauchy 稳定性性质在我们的姊妹篇中研究。主定理陈述如下：我们构造一族镜像半径 $r_{0\epsilon}>0$ 与初始数据 $\mathcal{S}_{\epsilon}$（$\epsilon\in(0,1]$），其在合适范数下收敛于 AdS 初始数据，使得对任意 $\epsilon>0$，$\mathcal{S}_{\epsilon}$ 的最大发展 $(\mathcal{M}_{\epsilon},g_{\epsilon})$ 包含一个黑洞区域。我们的证明基于纯物理空间论证。