$G$-Weyl CM 域的分布与 Colmez 猜想

设 $G$ 为 $S_d$ 的一个传递子群，$E$ 为一个度为 $2d$ 的 CM 域，具有一个极大全实 $G$-域。若 $E$ 的伽罗瓦闭包的伽罗瓦群同构于 $C_2$ 与 $G$ 的绞积，则称 $E$ 为 $G$-Weyl CM 域。令 $N_{2d}^{\textrm{Weyl}}(X,G)$ 计数判别式 $|d_E| \leq X$ 的度为 $2d$ 的 $G$-Weyl CM 域 $E$，并定义 $N_{2d}^{\textrm{Weyl}}(X):=\sum_{G \leq S_d}N_{2d}^{\textrm{Weyl}}(X,G)$。此外，令 $N_{2d}^{\textrm{cm}}(X)$ 计数判别式 $|d_E| \leq X$ 的度为 $2d$ 的 CM 域 $E$。假设 Malle 猜想上界的一个弱形式（在许多情况下已知为真），我们在 Kl\"uners 方法的基础上证明了 $\frac{N_{2d}^{\textrm{Weyl}}(X,G)}{N_{2d}^{\textrm{cm}}(X)} = C(d, G) + O(X^{-\alpha(d,G)})$ 和 $\frac{N_{2d}^{\textrm{Weyl}}(X)}{N_{2d}^{\textrm{cm}}(X)} = 1 + O(X^{-\beta(d)})$，其中 $C(d,G), \alpha(d,G), \beta(d)$ 为某些显式正常数。随后我们将这些分布结果应用于研究 Colmez 猜想。利用最近被证明的平均 Colmez 猜想，我们推导出 Colmez 猜想对 $G$-Weyl CM 域成立。结合 (0.1)，我们得出结论：Colmez 猜想对度为 $2d$ 的 CM 域中渐近密度为 100% 的子集成立；换句话说，Colmez 猜想对随机 CM 域成立。