模 4 辫群的群上同调

模 4 辫群 $\mathcal{Z}_{n}$ 定义为辫群模由所有元素的平方生成的纯辫群子群所得的商群。Kordek 与 Margalit 证明了 $\mathcal{Z}_{n}$ 是对称群被 $\mathbb{Z}_{2}^{\binom{n}{2}}$ 的扩张。对于 $n\geq 1$，我们构造了对称群带扭系数群上同调中的一个 2-闭上链，它对 $\mathcal{Z}_{n}$ 进行分类。我们证明该闭上链是对应于对称群被纯辫群交换化扩张的 2-闭上链的 $\mod2$ 约化。我们还构造了对应于这第二个扩张的 2-闭上链，并证明它代表了对称群上同调中的一个二阶元素。此外，我们给出了两个扩张的表示，以及辫群 4 级同余子群的一个正规生成集。