通过球面循环覆盖的辫群表示：Zariski 闭包与算术性

设 $d \geq 2$ 与 $n\geq 3$ 为两个自然数。给定任意序列 $\kappa=(k_1,\dots,k_n) \in \mathbb{Z}^n$ 满足 $\gcd(k_1,\dots,k_n,d)=1$，我们考虑由平面曲线 $y^d=\prod_{i=1}^n(x-b_i)^{k_i}$ 所定义的黎曼曲面族，其中 $\{b_1,\dots,b_n\}$ 是 $\mathbb{C}$ 中 $n$ 个互异点。该族纤维上同调的单调作用为我们提供了纯辫群 $\mathrm{PB}_n$ 到某辛群的一个表示。通过限制到纤维上同调中的特定子空间，我们得到 $\mathrm{PB}_n$ 到定义在 $\mathbb{Q}$ 上的线性代数群的一个表示 $\rho_d$。在某种意义上，$\rho_d$ 相对于参数 $d$ 与 $\kappa$ 是本原的。本文的第一个主要结果是 $\rho_d$ 像的 Zariski 闭包达到极大的一个判据，第二个主要结果是其像为目标群中算术格的一个判据。后者推广了 Venkataramana 的先前结果，并回答了 McMullen 的一个问题。