nilCoxeter代数的上同调

对称群 $S_n$ 的 nilCoxeter 代数 $\mathcal{N}S_n$ 是 $\mathbb{Z}$ 上的代数，由生成元 $Y_i$（$1\leqslant i\leqslant n-1$）定义，满足辫关系 $Y_iY_{i+1}Y_i=Y_{i+1}Y_iY_{i+1}$、$Y_iY_j=Y_jY_i$（$|j-i|\geqslant 2$），以及关系 $Y_i^2=0$。我们给出了上同调环 $Z\cong\mathsf{Ext}^*_{\mathcal{N}S_n}(\mathbb{Z},\mathbb{Z})$ 的显式表示，其中在次数 $i$（$0< i<n$）有 $n-i$ 个新生成元，且所有关系都是二次的。我们证明了该 $\mathsf{Ext}$ 环是 $\mathbb{Z}$-自由的，并且是半素 Noether 仿射多项式恒等式（PI）环，其 Poincaré 级数为 $1/(1-t)^{n-1}$，PI 次数为 $2^{n-2}$。对于任意系数域 $\mathbf{k}$，我们证明了 $\mathsf{Ext}^*_{\mathbf{k}\mathcal{N}S_n}(\mathbf{k},\mathbf{k})$ 同构于 $\mathbf{k}\otimes_{\mathbb{Z}} Z$。类似结果对其他有限 Coxeter 类型也成立。在最后一节中，我们证明了 $Z$ 是 Koszul 代数，其 Koszul 对偶是 nilCoxeter 代数的带符号版本，该代数与仙人掌群密切相关。