Soergel 双模的辫子幺半范畴 $(\infty,2)$-范畴

所有对称群的 Hecke 代数组合在一起构成了一个辫子幺半范畴，该范畴控制了所有 A 型量子链环不变量，并由此扩展至 3 维和 4 维的拓扑量子场论的标准体系。在此，我们提供了该 Hecke 辫子幺半范畴的首次范畴化，其形式为一个 $\mathbb{E}_2$-幺半 $(\infty,2)$-范畴，其 hom-$(\infty,1)$-范畴是 $k$-线性的、稳定的、幂等完备的，并配备了 $\mathbb{Z}$-作用。这种范畴化旨在控制同伦相干的链环同调理论以及待构建的 4 维和 5 维拓扑量子场论。我们的构造基于 Soergel 双模的链复形，其幺半结构由抛物诱导给出，辫子由 Rouquier 复形实现，且均以同伦相干的方式建模。这是一个允许将范畴化文献的工具包转移到 $\infty$-范畴与高阶代数领域的框架的一部分。在此过程中，我们发展了 $(\infty,n)$-范畴、充实 $\infty$-范畴和 $\infty$-算畴的分解系统族，这可能具有独立的意义。为了帮助不太熟悉同伦相干数学的读者，我们以附录的形式包含了对必要的 $\infty$-范畴技术的简要介绍。