具有梯度约束的 Lipschitz 函数在 $L^2$ 范数下对给定函数的最佳逼近

本文的起点是研究如下最小化问题当 $p\to\infty$ 时的渐近行为 $$\min\left\{\frac1{p}\int|\nabla v|^{p}+\frac12\int(v-f)^2 \,, \quad \ v\in W^{1,p} (\Omega)\right\}.$$ 我们表明该极限问题给出了在所有 Lipschitz 常数不大于一的 Lipschitz 函数中，对数据 $f$ 在 $L^2$ 范数下的最佳逼近。此外，该逼近在粘性意义下满足一适当的 PDE。在上述模型问题分析之后，我们考虑一相关非变分方程族的渐近行为，最后还处理某些涉及函数跳跃集的 $(N-1)$ 维 Hausdorff 测度的泛函。