渐近谱距离、图极限与 Shannon 容量

确定图的 Shannon 容量是信息论、图论和组合优化中一个长期悬而未决的问题。几十年来，人们开发了广泛的上下界方法来分析这一问题。然而，尽管付出了巨大努力，该问题甚至在小规模实例上仍未解决。近年来，图 Shannon 容量的一种新对偶刻画——渐近谱对偶——统一并扩展了已知的上界方法和结构定理。在本文中，基于渐近谱对偶，我们发展了一种新的图距离理论，我们称之为渐近谱距离，以及相应的极限（让人联想到著名的割范数、图子和旗代数理论，但与之不同）。我们提出了一种解决 Shannon 容量问题的图极限方法：为了确定一个图的 Shannon 容量，构造一个易于分析的图序列收敛到它。(1) 我们给出了一种非常通用的非平凡收敛图序列的构造（在一族循环图中）。(2) 我们构造了不收敛于任何有限图但确实收敛于无限图的有限图 Cauchy 序列。我们建立了有限图收敛问题与圆上类似 Borsuk 的无限图渐近性质之间的紧密联系。(3) 我们观察到，小奇圈 Shannon 容量所有已知的最佳下界构造都可以从图极限方法的“有限”版本中获得。我们发展了该方法的计算和理论方面，并利用这些获得了十五圈的新的 Shannon 容量下界。渐近谱距离理论不仅适用于图的 Shannon 容量；事实上，我们将把它发展应用于一类一般的数学对象及其渐近性质。