Cayley 图的线性香农容量

图的香农容量是零误差信息论中的一个基本量，用于衡量图幂中独立集的增长速率。尽管已被广泛研究，该量仍存有若干未解之谜。Lovász 通过 theta 函数著名地证明了 $C_5$（5-圈）的香农容量至多为 $\sqrt{5}$。这一界可由有限域 $\mathbb{F}_5$ 上映射 $x \mapsto 2x$ 的简单线性码达到。这引出了图的线性香农容量的概念，即限制使用线性码时可达到的最大速率。我们基于多项式方法给出简洁证明：$C_5$ 的线性香农容量为 $\sqrt{5}$。我们的方法更一般地适用于有限域 $\mathbb{F}_q$ 加法群上的 Cayley 图，给出了线性香农容量的上界。我们将该界与 Lovász theta 函数比较，表明它们对自补 Cayley 图（如 $C_5$）吻合，且在某些情况下该界更小。我们还展示了某些图的线性香农容量与一般香农容量之间存在二次差距。