关于 Lovász $\theta$-函数、图容量、特征值与强积的若干观察

本文给出关于图的 Lov\'{a}sz $\theta$-函数的新观察。其中包括该函数对所有强正则图的简单闭式表达，以及对所有正则图的该函数的上下界。这些界用正则图邻接矩阵的第二大与最小特征值表示，并给出取等号的充分条件(上界由 Lov\'{a}sz 给出，随后给出其紧性的新充分条件)。这些结果被证明在多方面有用，可确定多种图的 Shannon 容量的精确值、导出特征值不等式以及图的团数与色数的界。由于 Lov\'{a}sz $\theta$-函数对图的强积可分解，这些结果对强积或正则图的强幂的参数尤其有用。进而推导了正则图强积的最小与第二大特征值的界，表示为各因子的 Lov\'{a}sz $\theta$-函数(或最小特征值)的函数。所得正则图 $k$ 重强幂第二大特征值的下界与 Alon--Boppana 界进行比较；在特定条件下，新界在其指数增长率(关于 $k$)上更优。图强积色数的下界用各因子的阶与 Lov\'{a}sz $\theta$-函数表示。这些界的效用得以例证，在若干情形下精确确定了图强积或强幂的色数。本研讨论文亦旨在具备教程价值。