图幂的香农容量
组合数学
2025-10-21 v1
摘要
对于图 G，其第 k 次图幂 G^k 通过在两个顶点之间若干距离 k 以内来构建。我们考虑通过谱图论和线性优化方法来求解图幂香农容量的上界。首先，我们使用所谓的比率型界为爱德华兹 [IEEE Trans. Inform. Theory 1979] 的结果提供了另一种谱证明，指出对于正则图，Hoffman 比率界在独立数上的上界也是洛夫茨 theta 数上的上界，因而也是香农容量上的上界。事实上，我们显示爱德华兹的结果在图幂的更一般语境下也成立。其次，我们推导出图幂香农容量的另一界，称为秩型界，它取决于一族新多项式，可通过简单算法计算。最后，我们提供了若干计算实验，表明这两种提出的代数界具有良好的精确度。作为副产品，当这两种新的代数界紧密时，可以轻易地推导出洛夫茨 theta 数（需要求解 SDP）和香冝容量（尚未知晓可计算）的确切值。
引用
@article{arxiv.2510.16151,
title = {The Shannon capacity of graph powers},
author = {Aida Abiad and Cristina Dalfó and Miquel Àngel Fiol},
journal= {arXiv preprint arXiv:2510.16151},
year = {2025}
}