Lovász 数的一个新性质及图参数间的对偶关系

我们证明，对于任意图 $G$，通过另一图 $H$ 的强积考虑“激活”，$G$ 的独立数与 Lovász 数之间的关係 $\alpha(G) \leq \vartheta(G)$ 可被做得任意紧：确切地，不等式 $$\alpha(G \times H) \leq \vartheta(G \times H) = \vartheta(G)\,\vartheta(H)$$ 对于合适的辅助图序列 $H$ 渐近地成为等式。这促使我们寻找上述关系右侧 $G$ 和 $H$ 的图参数的其他乘积。例如，Rosenfeld 和 Hales 的一个结果指出 $$\alpha(G \times H) \leq \alpha^*(G)\,\alpha(H),$$ 其中 $\alpha^*(G)$ 为分数填充数，且对每个 $G$ 存在 $H$ 使上式成为等式；反之，对每个图 $H$ 存在 $G$ 达到等式。这些发现构成了图参数的某种对偶性，通过独立数中介，在此之下 $\alpha$ 与 $\alpha^*$ 彼此对偶，而 Lovász 数 $\vartheta$ 是自对偶的。我们还展示了 Schrijver 和 Szegedy 的 Lovász 数变体 $\vartheta^-$ 和 $\vartheta^+$ 的对偶性，并探索了在强积与析取积下色数的类似概念。