论网络复杂度的估计：Graphon 的维数

网络复杂度已被研究了半个多世纪，并找到了广泛的应用。已有许多方法被开发出来以刻画和估计网络的复杂度。然而，具有统计保证的研究却很少。本文在随机图的一般模型——所谓的 graphon 模型——中发展了一套图复杂度的统计理论。给定一个 graphon，我们赋予节点的潜在空间以邻域距离，该距离度量两个节点与相似节点连接的可能性。我们的复杂度指标则基于（净化后的）该度量空间的覆盖数和 Minkowski 维数。尽管潜在空间不可识别，但这些指标被证明是可识别的。这一复杂度概念在常见的随机图示例上有简单的解释：它匹配随机块模型中的社区数量；随机几何图中欧氏空间的维数；Hölder graphon 模型中连接函数的正则性。基于对图的单次观测，我们构造了邻域距离的估计量，并给出了其风险的通用非渐近界，该界匹配 minimax 下界。基于这一估计距离，我们计算了相应的覆盖数和 Minkowski 维数，并为这两个插件估计量提供了最优的非渐近误差界。