香农容量与范畴积

图 $G$ 的香农 OR-容量 $C_{\rm OR}(G)$（即补图的传统上更常用的香农 AND-容量）是一个同态单调图参数，满足对任意图对均有 $C_{\rm OR}(F\times G)\le\min\{C_{\rm OR}(F),C_{\rm OR}(G)\}$，其中 $F\times G$ 是图 $F$ 与 $G$ 的范畴积。本文开启了对该不等式中何时可期望取等号的研究。利用 Zuiddam 近期的一个强结果，我们表明：若此“Hedetniemi 型”等号对某些图对不成立，则另一具有关于某些不同图运算“更好”行为的图不变量对该图对也不满足相应等号。特别地，与香农容量或色数不同，该另一不变量在 OR-积下乘法、在并运算下加法，且沿图同态非减。我们还给出了 $C_{\rm OR}(F\times G)$ 的一个自然下界，并详述了如何寻找已知其严格小于上界 $\min\{C_{\rm OR}(F),C_{\rm OR}(G)\}$ 的图对。我们利用 Paley 图的性质给出了此类图对。