半环同态图不变量的统一构造

Zuiddam最近观察到，在图同态预序以及分别以并运算和析取乘积作为加法和乘法的意义下，有限图构成一个预序交换半环。这通过Strassen的Positivstellensatz引出了Shannon容量$\Theta$的一个新刻画：$\Theta(\bar{G}) = \inf_f f(G)$，其中$f : \mathsf{Graph} \to \mathbb{R}_+$取遍所有单调半环同态。因此，构造并分类满足在图同态下单调、在并下可加、在析取乘积下可乘的图不变量$\mathsf{Graph} \to \mathbb{R}_+$具有主要意义。我们称此类不变量为半环同态的。唯一已知的此类不变量均具有分数性质：分数色数、射影秩、分数Haemers界，以及Lov\'asz数（后两者在补图上求值）。在此，我们基于图的线性半环族给出了这些不变量的统一构造。在此过程中，我们还研究了图半环上对应于分数化的附加代数结构。图的线性半环族是一个不同于拟阵的组合几何新概念，可能具有独立意义。