由刚性同位素类拓扑得到的图不变量

我们定义了一族新的图不变量，利用一种令人联想到 Floer 同调的极限过程，研究图在欧氏空间中几何实现的模空间的拓扑。给定一个带标号图 $G$（含 $n$ 个顶点）及 $d \geq 1$，$W_{G, d} \subseteq \mathbb{R}^{d \times n}$ 表示 $G$ 在 $\mathbb{R}^d$ 中非退化实现的集合。$W_{G, d}$ 即使非空也可能不连通，我们将其连通分支称为 $G$ 在 $\mathbb{R}^d$ 中的刚性同位素类。我们研究这些刚性同位素类的拓扑。首先，关于 $W_{G, d}$ 的连通性，我们将 Maehara 的“当 $d \geq n$ 时 $W_{G, d}$ 非空”之结果推广为：当 $d \geq n + k + 1$ 时 $W_{G, d}$ 是 $k$-连通的，从而 $W_{G, \infty}$ 总是可缩的。虽然对固定的 $G$、$k$ 及足够大的 $d$ 有 $\pi_k(W_{G, d}) = 0$，我们也证明尽管如此，当 $d\to \infty$ 时 $W_{G, d}$ 的非零同调的结构呈现出一种稳定现象：对足够大的 $d$，它由 $(n-1)$ 个等距分布的簇组成，其形状与 $d$ 无关。这导出了一族捕捉该结构的图不变量的定义。例如，对足够大的 $d$，$W_{G,d}$ 的 Betti 数之和与 $d$ 无关；我们称此数为图 $G$ 的 Floer 数。最后，对固定的 $d$ 及 $n \to \infty$，我们给出 $\mathbb{R}^d$ 几何图在 $n$ 个顶点上的刚性同位素类数目的渐近估计。当 $d=1$ 时，我们证明当 $n\to \infty$ 时平均而言每个同构类对应于常数个刚性同位素类。对 $d>1$ 我们在对数尺度上证明了类似结论。