权系统与图及嵌入图的不变量

我们描述了权系统理论的最新进展，权系统是定义在弦图上并满足所谓 $4$-项关系的函数。我们的主要关注点在于权系统的构造。本文讨论的此类构造的两个主要来源是：满足图的 $4$-项关系的弦图交图的不变量，以及度量李代数。对于最简单非平凡度量李代数 $\mathfrak{sl}(2)$，我们给出关于相应权系统在重要弦图族上取值的生成函数显式形式的最新结果。我们还阐释另一近期结果：用于计算 $\mathfrak{gl}(N)$-权系统取值的递推关系。这些关系基于 M. Kazarian 将 $\mathfrak{gl}(N)$-权系统推广到任意置换的工作。若干近期论文提出了一种基于相应 Hopf 代数结构研究、将权系统与图不变量推广到任意嵌入图的方法；我们描述了该方法。定义在任意嵌入图上的权系统对应于链环（多分量纽结）的有限型不变量。