刚性正则图与 Babai-Pultr 问题

若图仅容纳恒等同态，则称其为刚性图。我们证明，对每个 $d\ge 3$，存在无数互不相同的刚性 $d$ 正则图，其奇数循环径 $g\geq 7$ 可任意取。此外，我们确定刚性 $d$ 正则图的最小阶数。该结果对 van der Zypen 的问题提供了强有力的肯定性回答。进一步，我们利用构造方法表明，每个有限单半群都同构于某个正则图的同态半群。这解决了 Babai 和 Pultr 的问题 [J. Comb. Theory, Ser. B, 1980]。