所有 $r$ 都具有独立精确 $r$-覆盖的图

对于每一个自然数 $d$，我们构造有限的 $d$ -正则简单图，使得对于每一个 $r \le d$，这些图包含一个独立的精确 $r$-覆盖。这解答了 Gray 和 Johnson 在研究 2 步传递概率时提出的问题。我们给出阶为 $n$ 的图的一些可整除条件，这些图对于每一个 $r \le d$ 都包含一个独立的精确 $r$-覆盖，并给出 $d=3,4,5,6$ 的构造，其中图的阶是最小的（我们从可整除条件推导出这种最小性）。我们将这些图作为较小图的常见覆盖来构造。我们重访 Angluin 和 Gardiner 关于两个同度数正则图的有限常见覆盖结果，以及 Gross 表明偶数度正则图是 Schreier 余集图的结果。我们将两者结合起来，提供一种同度数正则图的有限常见覆盖，该覆盖在某些情况下使用的顶点数比 Angluin 和 Gardiner 的构造更少。