稀疏性、应力无关性与图刚性理论中的全局链接成对

若其 $d$ 维常规刚性 matroid 为自由 (resp. 连通)，则称图为 $\mathcal{R}_d$ 无关 (resp. $\mathcal{R}_d$ 连通)。1867 年的 Maxwell 结果表明，每个 $\mathcal{R}_d$ 无关图都满足稀疏条件 $|E(H)|\leq d|V(H)|-\binom{d+1}{2}$ 对所有至少有 $d+1$ 个顶点的子图 $H$ 成立。已知若干自然产生于刚性理论的图族（如最小全局 $d$ 刚性图）满足上界 $|E(G)|\leq (d+1)|V(G)|-\binom{d+2}{2}$。我们统一并扩展这些结果，通过考虑 $d$ 应力无关图族。我们证明每个 $d$ 应力无关图都是 $\mathcal{R}_{d+1}$ 无关的。我们证明的关键工具是顶点 $d$ 应力链接成对的概念。我们推导出 $d$ 应力链接的充分条件，并据此获得顶点对全局 $d$ 链接的相似条件。该结果强化了 Tanigawa 关于全局 $d$ 刚性图的论述。我们还证明每个最小 $\mathcal{R}_d$ 连通图 $G$ 是 $\mathcal{R}_{d+1}$ 无关的，且唯一可能在 $\mathcal{R}_{d+1}$ 无关性中等式成立的 $G$ 子图是 $K_{d+2}$ 的拷贝。我们的结果对图刚性理论中的两个猜想给出了肯定答案。