顶点的应力关联对与泛型应力拟阵

给定图 $G$ 与映射 $p : V(G) \to \mathbb{R}^d$,称对 $(G,p)$ 为 $G$ 的一个($d$ 维)实现。两个实现 $(G,p)$ 与 $(G,q)$ 等价,若对应于 $G$ 的边的各点对在点嵌入 $p$ 与 $q$ 下距离相同。顶点对 $\{u,v\}$ 在 $\mathbb{R}^d$ 中于 $G$ 内全局关联,是指对每个泛型实现 $(G,p)$ 与每个等价实现 $(G,q)$,$(G+uv,p)$ 与 $(G+uv,q)$ 也等价。本文引入并研究了 $d$-应力关联顶点对的概念。粗略地说,顶点对 $\{u,v\}$ 在 $G$ 中 $d$-应力关联,是指边 $uv$ 在 $G+uv$ 中泛型受力,且对每个泛型 $d$ 维实现 $(G,p)$,每个满足 $(G,p)$ 平衡应力的构型 $q$ 也满足 $(G+uv,p)$ 的平衡应力。在其他结果中,我们证明了 $d$-应力关联顶点对在 $\mathbb{R}^d$ 中全局关联,并给出了 $2$-应力关联顶点对的组合刻画,其与 Jackson 等人关于 $\mathbb{R}^2$ 中全局关联对的猜想刻画相符。作为一个关键工具,我们引入并研究了图 $G$ 的 $d$ 维泛型刚性拟阵的“代数对偶”,称之为 $G$ 的 $d$ 维泛型应力拟阵。我们关于该拟阵(其描述 $G$ 的泛型实现的平衡应力的全局行为)的结果可能具有独立意义。我们利用结果正面回答了 Jord\'an 关于极小全局刚性图的猜想、Jord\'an 与作者关于全局关联顶点对的猜想,以及 Connelly 与 Grasegger 等人关于具有小分离集的图刚性性质的猜想。