一般框架下顶点对的全局链接性

一个 d 维框架是一对 $(G,p)$，其中 $G=(V,E)$ 是一个图，而 $p$ 是从 $V$ 到 $\mathbb{R}^d$ 的映射。在 $(G,p)$ 中边 $xy\in E$ 的长度即 $p(x)$ 与 $p(y)$ 之间的距离。若对每一个对应的边长与 $(G,p)$ 中相同的 d 维框架 $(G,q)$，都有 $p(u)$ 与 $p(v)$ 之间的距离等于 $q(u)$ 与 $q(v)$ 之间的距离，则称 $G$ 的顶点对 $\{u,v\}$ 在 $(G,p)$ 中是全局链接的。当 $G$ 的每一对顶点在 $(G,p)$ 中都全局链接时，我们称 $(G,p)$ 在 $\mathbb{R}^d$ 中全局刚化。若存在一般框架 $(G,p)$ 使 $\{u,v\}$ 全局链接，则称 $G$ 的顶点对 $\{u,v\}$ 在 $\mathbb{R}^d$ 中弱全局链接于 $G$。本文首先给出 $(d+1)$-连通图 $G$ 在 $\mathbb{R}^d$ 中顶点对弱全局链接性的一个充分条件，并证明当 $d=2$ 时它也是必要的。我们利用该结果得到图中 $\mathbb{R}^2$ 内弱全局链接对的完整刻画，并由此给出平面上弱全局链接性测试的 $O(|V|^2)$ 时间算法。我们的方法为 $\mathbb{R}^2$ 中全局刚性图的刻画给出了一个新的简短证明，并进一步得到关于平面及高维中弱全局链接对与全局刚性图的结果。