平面对称线性约束框架的刚性

杆-关节框架 $(G,p)$ 是有限简单图 $G=(V,E)$ 与放置 $p:V\rightarrow \mathbb{R}^d$ 的组合。如果顶点保持边长的连续运动仅由空间的等距变换产生，则该框架是刚性的。受边界条件起重要作用的应用的启发，可以对其进行推广，考虑线性约束框架，其中某些顶点被约束在固定的仿射子空间上移动。Streinu 和 Theran 精确刻画了在二维空间中哪些线性约束框架是泛型刚性的。在本文中，我们将他们的刻画扩展到了对称框架。特别地，我们给出了在任意有限点群对称性下，平面中的对称线性约束框架为等静定的（即极小无穷小刚性的）必要组合条件。在阶数为 2 或奇数的旋转对称群的情况下，证明了在适当的泛型假设下这些条件也是充分的，从而在这些背景下给出了对称等静定图的精确组合描述。