$d$ 维空间中杆-关节框架一般刚性的一个必要条件

图 $G=(V,E)$ 是 $d$-稀疏的，如果每个满足 $|X|\geq d$ 的子集 $X\subseteq V$ 在 $G$ 中至多诱导 $d|X|-{{d+1}\choose{2}}$ 条边。Maxwell 在 1864 年证明，一个具有至少 $d+1$ 个顶点的一般杆-关节框架在 ${\mathbb R}^d$ 中刚性的一个必要条件是 $G$ 应包含一个具有 $d|X|-{{d+1}\choose{2}}$ 条边的 $d$-稀疏子图。当 $d=1,2$ 时，这个必要条件也是充分的，但当 $d\geq 3$ 时则不然。Cheng 和 Sitharam 通过证明当 $d=3$ 时 $G$ 的每个极大 $d$-稀疏子图都应具有 $d|X|-{{d+1}\choose{2}}$ 条边，从而加强了 Maxwell 的条件。我们将他们的结果推广到所有 $d\leq 11$。