海绵体上自仿射测度的 Assouad 维数

我们推导了由对角矩阵生成并满足适当分离条件的 $\mathbb{R}^d$ 中自仿射测度的 Assouad 维数与下维数的上下界。对于 $d=2,3$，上下界总是一致，从而给出维数的精确显式公式。此外，存在易于检验的条件保证当 $d \geq 4$ 时上下界一致。我们结果的一个有趣推论是，此类自仿射构造即使在平面上也可能存在“维数隙”。即，我们证明对某些“Bara\'nski 型”自仿射地毯，其所有关联自仿射测度的 Assouad 维数严格超过该地毯的 Assouad 维数，超出量由仅依赖于地毯的某个固定 $\delta>0$ 给出。我们也给出“Bara\'nski 型”自仿射地毯的实例，其中不存在维数隙，事实上地毯的 Assouad 维数等于某个精心选取的自仿射测度的 Assouad 维数。