可定向流形的 Systolic 自由度

1972 年，Marcel Berger 定义了度量不变式，刻画 $k$ 维 homology 的“大小”。该不变式称为 $k$ 维 Systole。他询问系统素是否可被体积所约束，致力于类似 1949 年 C. Loewner 定理的框架。我们构造了灵感来自 M. Gromov 1993 年例证的度量，为大类流形以及互补维数对的系统素之积提供了负答案。我们方法的局限（对 $k$ 模 4 的限制）似乎植根于实 Bott 周期性的自由部分。该构建发生在适当 $k$ 维子流形的分割邻域内，其联通分量（有理上）生成该流形 $k$ 维 homology 群。有界几何（结合 coarea 不等式）蕴含 $k$ Systole 的下界，而在该邻域内的校准提供互补维数的 Systole 的下界。在四维情况下，问题可化约为 $S^2 \times S^2$ 的情形。